1.
[1]數(shù)學(xué)的發(fā)展與創(chuàng)新思維 數(shù)學(xué)是一種思維方式,表現(xiàn)了人類思維的本質(zhì)和特征。幾何學(xué)的公理化體系具有邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性和對(duì)象抽象性從而又具有應(yīng)用廣泛性而素稱思維的體操,這一點(diǎn)已得到大家的 公認(rèn)。
數(shù)學(xué)思維更是當(dāng)前學(xué)術(shù)界的常用詞,它不僅指數(shù)學(xué)中的邏輯思維,還特指與數(shù)學(xué)密切相關(guān)的思維方式。數(shù)學(xué)家將這種思維分為左腦管轄的抽象思維、形式化和公理化,右腦管轄的探索性思維、形象思維和直覺(jué)思維。目前正在研究左右腦思維的配合,以期將數(shù)學(xué)發(fā)展成為一種高效率的思維科學(xué)。[2]由此不難發(fā)現(xiàn),如果數(shù)學(xué)科學(xué)家缺乏創(chuàng)新思維,它必阻滯數(shù)學(xué)家發(fā)明或創(chuàng)造新的數(shù)學(xué)方法、思想和原理,這是千百年來(lái)數(shù)學(xué)發(fā)展規(guī)律的歷史經(jīng)驗(yàn)總結(jié)。因此要回答數(shù)學(xué)被發(fā)現(xiàn)還是被發(fā)明就必須來(lái)考察數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維的一般規(guī)律。 法國(guó)著名數(shù)學(xué)家彭加勤在巴黎心理學(xué)會(huì)上作過(guò)一次著名的演講,在這一講演中,關(guān)于數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維的過(guò)程,彭加勒曾以自己發(fā)明富克斯群和富克斯函數(shù)理論為例,作過(guò)生動(dòng)的描述。起初,彭加勒對(duì)這種函數(shù)冥思苦想想了整整兩個(gè)星期,企圖證明它不存在。后來(lái),一天晚上彭加勒說(shuō):不同于往常的習(xí)慣,我喝了濃咖啡,因而輾轉(zhuǎn)反復(fù),難以入眠,眾多思維蜂擁而至,我感到了它們不斷地沖突和碰撞,,直到最后,它們一一相連,也就是說(shuō),形成了一個(gè)穩(wěn)定的組合體。[3] 由此,彭加勒構(gòu)造出了第一類這種函數(shù)。就在 此時(shí),他開(kāi)始了旅行生活,旅途中他忘掉了數(shù)學(xué)工作。突然在馬車踏板上的一剎那,一個(gè)思想突然閃現(xiàn)在他的腦海里,這個(gè)思想就是,他用以定義富克斯函數(shù)的變換與非歐幾何變換是等價(jià)的。對(duì)彭加勒的數(shù)學(xué)創(chuàng)新過(guò)程我們可以概括成以下四個(gè)階段:(1)準(zhǔn)備階段,這時(shí)是有意識(shí)的工作,但常常不能得到預(yù)期的結(jié)果;(2)醞釀階段,即暫時(shí)丟開(kāi)手頭工作,而去干些其他事件,或去休息一下子,而無(wú)意識(shí)思維卻已由此而開(kāi)動(dòng)起來(lái);(3)頓悟階段,此時(shí)問(wèn)題的答案或證明的途徑已經(jīng)出乎預(yù)料地突然出現(xiàn)了;(4)整理階段,即將頓悟時(shí)所感覺(jué)到的那些結(jié)果嚴(yán)格地加以證明,并將其過(guò)程精確化,同時(shí)又可為下一步研究作好必要的準(zhǔn)備??梢?jiàn),數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維是由相互聯(lián)系、相互作用的若干組成部分按一定方式結(jié)合的具有特定功能的有機(jī)整體,數(shù)學(xué)創(chuàng)新的四個(gè)階段是數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)過(guò)程的程序化的體現(xiàn)。 世界著名數(shù)學(xué)家、科學(xué)家和哲學(xué)家在其科學(xué)與方一書(shū)中認(rèn)為,數(shù)學(xué)直覺(jué)并不是每一個(gè)人都具有的,有些人或者沒(méi)有這種如此難以定義的微妙的感覺(jué),或者沒(méi)有超常的記憶力和注意力,因此,他們絕對(duì)不可能理解較高級(jí)的數(shù)學(xué)。[4]更重要的是,在彭加勒看來(lái),只有超常的記憶力和注意力,而沒(méi)有數(shù)學(xué)直覺(jué)的人,他們能夠理解數(shù)學(xué),有時(shí)還能應(yīng)用數(shù)學(xué),但不能創(chuàng)造數(shù)學(xué);而具有這種特殊的數(shù)學(xué)直覺(jué)的人,盡管記憶力和注意力毫無(wú)非同尋常之處,他們也能理解數(shù)學(xué),并且可以成為數(shù)學(xué)創(chuàng)造者。我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚、王元?jiǎng)?chuàng)立的用數(shù)論方法對(duì)多重積分進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的著名方法。1958年,王元看到蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家卡拉波夫的一篇論文,該文論述了積分近似計(jì)算與蒙特`卡羅方法之關(guān)系,之后他馬上找到華老,華先生一眼看出蒙特`卡羅方法的實(shí)質(zhì)就是數(shù)論方法。從此,他們走上了用數(shù)論方法探索對(duì)多重積分進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的道路。對(duì)單重積分由牛頓、車貝契夫、高斯等都做出過(guò)杰出貢獻(xiàn),若將他們的公式推廣到高維情形,則誤差將隨維數(shù)增加而增加,顯然這種方法是行不通的。華王二先生隨即從二重積分入手,想從中找到突破口,他們認(rèn)真分析了卡拉波夫方法的特點(diǎn):理論較復(fù)雜且適應(yīng)范圍小。對(duì)此,他們大膽提出了一種直接的方法,并要快速找出一組點(diǎn),適應(yīng)范圍盡可能大。根據(jù)華先生的直覺(jué),他認(rèn)為確定計(jì)算二重積分的點(diǎn)即平面上的點(diǎn)。用費(fèi)波那契數(shù)列和黃金分割即可找到,果真如此,王先生根據(jù)華先生的想法,很快就證明出來(lái)了,對(duì)二重積分的近似計(jì)算獲得了一個(gè)完美的逼近公式,發(fā)表在1960年的科學(xué)記錄上,至今仍在實(shí)際中廣泛應(yīng)用。從以上實(shí)例不難看出,華老是直覺(jué)型數(shù)學(xué)家,王老是邏輯型數(shù)學(xué)家。確實(shí)說(shuō)明阿達(dá)瑪關(guān)于數(shù)學(xué)家之間主要區(qū)別是:有些數(shù)學(xué)家是直覺(jué)型的,另一些是邏輯型論述的正確。由此歸結(jié)為探討邏輯思維和直覺(jué)思維在數(shù)學(xué)發(fā)展中的職能問(wèn)題了,邏輯思維是數(shù)學(xué)思維中的主導(dǎo)成份,直覺(jué)思維是數(shù)學(xué)創(chuàng)造中的關(guān)鍵因素,是數(shù)學(xué)創(chuàng)新過(guò)程中的創(chuàng)造型思維。
二、數(shù)學(xué)既被發(fā)現(xiàn)又被發(fā)明 在創(chuàng)造性階段,直覺(jué)起著重要作用。一般而言,直覺(jué)是智慧對(duì)客體的把握和內(nèi)省,其 表現(xiàn)往往是靈感和頓悟。由于直覺(jué)思維凝聚著探索者的觀察力、思考力,故它本身就是一項(xiàng)嚴(yán)肅的科學(xué)活動(dòng)。而科學(xué)發(fā)現(xiàn)許多時(shí)候都得力于頓悟一剎那間閃現(xiàn)出的靈光,所以它也是發(fā)明的藝術(shù)、創(chuàng)造的前奏。例如上例中彭加勒發(fā)明富克斯群和富克斯函數(shù)。數(shù)學(xué)直覺(jué)思維,就是直覺(jué)空間對(duì)知識(shí)空間的作用。該作用一般地說(shuō)主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面:一是在知識(shí)的發(fā)現(xiàn)方面,面對(duì)一些數(shù)學(xué)事實(shí),通過(guò)直覺(jué)的猜測(cè)、想象活動(dòng),概括出新命題,這便是直覺(jué)歸納問(wèn)題。一是在知識(shí)的證實(shí)方面,對(duì)于數(shù)學(xué)問(wèn)題或猜想出的命題進(jìn)行解決和證明,這雖然是邏輯論證的事,但是沒(méi)有直覺(jué)的指引和參與似乎是難以完成的,這便是直覺(jué)論證問(wèn)題。在這個(gè)發(fā)現(xiàn)過(guò)程中也包含了發(fā)明因素,體現(xiàn)了直覺(jué)的發(fā)明功能,然而不管是什么方面的作用,當(dāng)我們把歸納和論證都看成是對(duì)某個(gè)問(wèn)題的解決時(shí),這些作用便可概括成為直覺(jué)思維在數(shù)學(xué)發(fā)明上的創(chuàng)造功能。 徐利治先生是我國(guó)著名數(shù)學(xué)家,他在數(shù)學(xué)研究中,常常借助于由經(jīng)驗(yàn)獲得的直觀能力,以猜想的方式去探索某些可能取得的成果,例如1964年他在吉林大學(xué)任教期間,一度對(duì)超越方程求實(shí)根問(wèn)題發(fā)生了興趣,研究目標(biāo)是希望能找到無(wú)需估算初值的大范圍收斂迭代法。他想到歐拉在尋求著名的級(jí)數(shù)和 1+1/22+1/32+,+1/n2+,=P2 /6 時(shí),曾把正弦函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式大膽地看成為無(wú)限次多項(xiàng)式,從而通過(guò)類比法得到了正弦函數(shù)的因式分解的無(wú)窮乘積公式,最后再把乘積展開(kāi)后與冪級(jí)數(shù)三次冪比較系數(shù),便成 功地解決了雅谷柏努利的級(jí)數(shù)求和難題,得到了級(jí)數(shù)1+1/22+1/32+,+1/n2 +,之和 受歐拉思想方法的重要啟示,使徐利治先生聯(lián)想到拉蓋耳迭代公式中的參數(shù)n應(yīng)能令它趨向于]而獲得適用于超越方程的迭代方法。再由觀察立即看出當(dāng)時(shí)拉氏公式的繼續(xù)保持合理意義,這樣,他便猜到了一個(gè)可用以求解超越方程的大范圍收斂迭代法。最后,應(yīng)用整函數(shù)論里的阿達(dá)瑪因式定理,果然證明了上述方法的大范圍收斂性。 另一方面,許多現(xiàn)代數(shù)學(xué)家都傾向于承認(rèn)數(shù)學(xué)是研究模式的科學(xué),數(shù)學(xué)展現(xiàn)的是世界所應(yīng)服從的模式之間的關(guān)系,所以從遠(yuǎn)古時(shí)期第一個(gè)整數(shù)概念形成時(shí)開(kāi)始,綿延至今的數(shù)學(xué)就一直使用邏輯思維去思考自己的對(duì)象,為了使數(shù)學(xué)能向更高的抽象方向發(fā)展,人類便必須采取最可靠的推理方式,除了保證自己的結(jié)果準(zhǔn)確無(wú)誤以外,它還要保證自己能夠脫離物理世界而能最終符合世界。這個(gè)推理就是邏輯演繹。從這一點(diǎn)上說(shuō),數(shù)學(xué)只能被邏輯發(fā)現(xiàn),特別是當(dāng)某些猜測(cè)被邏輯證明出來(lái)時(shí),那個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)果好像早就存在于那里一樣,這時(shí)數(shù)學(xué)應(yīng)該說(shuō)是被發(fā)現(xiàn)出來(lái)。 錢(qián)學(xué)森先生在其大作關(guān)于思維科學(xué)一文中說(shuō):如果邏輯思維是線性的,形象思維是二維的,那么靈感思維好像是三維的??偠灾?在數(shù)學(xué)創(chuàng)新中,既需要邏輯思維,也需要直覺(jué)思維和靈感思維,而且只有將三者有機(jī)地結(jié)合起來(lái),才能成為創(chuàng)造數(shù)學(xué)新成果的源泉。邏輯思維是數(shù)學(xué)思維中的主導(dǎo)成份,嚴(yán)密的邏輯推理是建構(gòu)數(shù)學(xué)理論體系的最重要的階段。是幾千年來(lái)數(shù)學(xué)采用的生長(zhǎng)知識(shí)最成功的一種理性方式,最為典型的屬歐幾里的模式,這種模式即公理化方法,它通過(guò)事先選定的一組術(shù)語(yǔ)和確定它們特征的一組公理作基礎(chǔ),運(yùn)用演繹邏輯的力量,以一系列定理證明的方式展現(xiàn)、研究、發(fā)展數(shù)學(xué)知識(shí),這種模式融研究和整理于一體。充分體現(xiàn)了邏輯演繹的發(fā)現(xiàn)功能。 再次,從數(shù)學(xué)的學(xué)科性質(zhì)看,它早已被人們確認(rèn)是科學(xué),但是數(shù)學(xué)科學(xué)與其他自然科學(xué)相比,有其獨(dú)特的品性,它是抽象思維建構(gòu)出來(lái)的模式,并且可以進(jìn)行一系列的模式運(yùn)算。在信息化、高科技時(shí)代的今天,人們?cè)絹?lái)越認(rèn)識(shí)到,數(shù)學(xué)不僅是科學(xué),而且還是技術(shù)(數(shù)學(xué)技術(shù))。美國(guó)科學(xué)院院士J.Glimm說(shuō):數(shù)學(xué)對(duì)經(jīng)濟(jì)競(jìng)爭(zhēng)力至為重要,數(shù)學(xué)是一種關(guān)鍵的普遍適用的,并授予人以能力的技術(shù)著名數(shù)學(xué)家王梓坤院士認(rèn)為:數(shù)學(xué)兼有科學(xué)與技術(shù)兩種品質(zhì),這是其他學(xué)科所難的,不可不知。科學(xué)與技術(shù)是有區(qū)別的,科學(xué)講求要有所發(fā)現(xiàn),目標(biāo)是追求真理,探索和發(fā)現(xiàn)客觀存在,是建構(gòu)關(guān)于自然的知識(shí)體系,即通常所說(shuō)的認(rèn)識(shí)自然。而技術(shù)講求要有所發(fā)明,是改造自然的活動(dòng),即通常所說(shuō)的關(guān)于人們做什么和怎樣做的方法和手段,具有強(qiáng)烈的功利主義色彩,其目標(biāo)是設(shè)計(jì)和發(fā)明自然狀態(tài)中本不存在,但卻為人所需要的過(guò)程、程序、裝置和產(chǎn)品(追求有效性)。 現(xiàn)代數(shù)學(xué)建立在公理集合論的基礎(chǔ)上,但絕大多數(shù)數(shù)學(xué)家研究的是群、開(kāi)集等定義在集合論上的結(jié)構(gòu)以及層層定義在它們之上的概念和對(duì)象,亦正是這些概念和結(jié)構(gòu)的引入,決定了數(shù)學(xué)大廈的整體形象,開(kāi)辟了常規(guī)數(shù)學(xué)研究的場(chǎng)所,決定了數(shù)學(xué)發(fā)展的總方向。這種引入新的數(shù)學(xué)概念和結(jié)構(gòu)的富于開(kāi)創(chuàng)性的工作可以看作一種發(fā)明,在引入了一組概念從而定義了一組抽象結(jié)構(gòu)以后,數(shù)學(xué)工作的中心就變成了弄清這些結(jié)構(gòu)的主要特征,這可以比作發(fā)現(xiàn)的過(guò)程。這個(gè)過(guò)程一般又分提出命題(猜想)和證明命題兩步來(lái)完成,這兩步工作中,最重要的是提出深刻的猜想,從而計(jì)劃好弄清整個(gè)結(jié)構(gòu)的最佳路線,證明這些猜想,則是實(shí)際去走這條路,一般而言是基礎(chǔ),也是較缺乏創(chuàng)造性的工作。[8] 三、數(shù)學(xué)與真理 史寧中教授的命題在最后追加了一句:/并且請(qǐng)注意到,真理是只能被發(fā)現(xiàn)而不能被發(fā)明的。這句話正是本命題獨(dú)到而深刻之所在,它一針見(jiàn)血地引出了數(shù)學(xué)與真理之關(guān)系。所以要回答這一命題,不得不對(duì)有關(guān)數(shù)學(xué)與真理之關(guān)系作一定的探討,本文無(wú)意于全面研究數(shù)學(xué)與真理的關(guān)系,只想對(duì)當(dāng)前存在的幾種傾向,即數(shù)學(xué)=真理這種認(rèn)識(shí)誤區(qū)作些探討。 根據(jù)數(shù)學(xué)本質(zhì)的工作最早可追溯到古希臘哲學(xué)家柏拉圖。多少年來(lái)很多數(shù)學(xué)哲學(xué)家作了許多有益的探討,有的認(rèn)為數(shù)學(xué)是處于感性認(rèn)識(shí)過(guò)渡到理性??档抡J(rèn)為數(shù)學(xué)是先天綜合判斷,康德之后,數(shù)學(xué)發(fā)展進(jìn)入一個(gè)新時(shí)期,它的重要特點(diǎn)是公理化傾向,這一趨勢(shì)使大多數(shù)數(shù)學(xué)家形成了數(shù)學(xué)是一門(mén)演繹的科學(xué)。 拉卡托斯為了避免數(shù)學(xué)演繹論與經(jīng)驗(yàn)的片面性,從分析數(shù)學(xué)理論的結(jié)構(gòu)入手,提出了數(shù)學(xué)是一門(mén)擬經(jīng)驗(yàn)科學(xué)。[9] 林夏水先生認(rèn)為:數(shù)學(xué)是一門(mén)演算的科學(xué)(其中-演.表示演繹,-算.表示計(jì)算或算法,-演算.表示演算這對(duì)矛盾的對(duì)立統(tǒng)一)。[10]還有人認(rèn)為:數(shù)學(xué)是思維,數(shù)學(xué) 是猜測(cè)。 [11]關(guān)于這方面的論述還有很多,這些概括都有一定的道理,對(duì)理解數(shù)學(xué) 的本質(zhì)提供有益的幫助。本文不再一一列出。在我國(guó)的數(shù)學(xué)和哲學(xué)工作者中有人認(rèn)為,或至少潛意識(shí)地認(rèn)為,數(shù)學(xué)=正確,數(shù)學(xué)=真理,即把正確和真理看成是數(shù)學(xué)的本質(zhì)和數(shù)學(xué)進(jìn)步的標(biāo)準(zhǔn)。在這樣一種觀點(diǎn)的導(dǎo)引下,自然而然地產(chǎn)生了一種錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí):數(shù)學(xué)的進(jìn)步就被看成是隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展,它越來(lái)越正確,越來(lái)越接近真理,為什么這么說(shuō)呢? 首先,從邏輯上講,如果說(shuō)數(shù)學(xué)的進(jìn)步表示它越來(lái)越正確或越來(lái)越接近真理,那么首先必須知道有一個(gè)終極的代表絕對(duì)正確或絕對(duì)真理的標(biāo)準(zhǔn)存在,然而這一標(biāo)準(zhǔn)不僅是不存在的,而且即使存在我們也不知道它究竟在哪兒,因此我們無(wú)法斷定,隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展,它究竟是越來(lái)越接近,還是越來(lái)越遠(yuǎn)離真理。 其次,從數(shù)學(xué)的真理性看,從羅巴切夫斯基空間開(kāi)始只具備邏輯推理上的無(wú)矛盾性,但后來(lái)終究發(fā)現(xiàn)了它的直觀模型,并在相對(duì)論中得到了應(yīng)用,這就是說(shuō),一個(gè)數(shù)學(xué)的真理性問(wèn)題,一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論,只要它在邏輯推理中無(wú)矛盾性是應(yīng)該承認(rèn)它的真理性的。至于能否得到實(shí)踐的驗(yàn)證,還有時(shí)間條件問(wèn)題,即使假定有些結(jié)論永遠(yuǎn)也不能用到實(shí)踐中,那么只要它是整個(gè)數(shù)學(xué)科學(xué)有機(jī)體上一個(gè)不可缺少的組成部分,也不應(yīng)該否定它的真理性。而有些結(jié)論,開(kāi)始在邏輯結(jié)構(gòu)上并不那么嚴(yán)格,但在實(shí)踐中得到了有效應(yīng)用,也應(yīng)該承認(rèn)其真理性。歐氏幾何在理論上并不嚴(yán)格,甚至出現(xiàn)把任意三角形證明為等腰三角形的謬誤,但它在應(yīng)用上是有效的,因而它是真理。而它理論上的不嚴(yán)格最終也被希爾伯特解決了。通過(guò)以上事實(shí)我們可以說(shuō),邏輯上的無(wú)矛盾性和實(shí)踐中的有效性都可以作為判斷數(shù)學(xué)結(jié)論的真理性的標(biāo)準(zhǔn)。[12]這正是數(shù)學(xué)與真理的本質(zhì)區(qū)別,所以說(shuō),我們對(duì)數(shù)學(xué)的最大誤解莫過(guò)于把數(shù)學(xué)看作是真理,誤認(rèn)為數(shù)學(xué)的結(jié)論只能靠邏輯嚴(yán)謹(jǐn)推理得到,從而追求絕對(duì)的真理和真心求理的內(nèi)功路向,這可能也是我們的數(shù)學(xué)工作者不敢大膽提出自己科學(xué)假說(shuō)(或叫猜想)的最主要原因。 總之,邏輯推理在數(shù)學(xué)中的作用是雙重和互補(bǔ)的,它既是數(shù)學(xué)追求的目標(biāo),又是數(shù)學(xué)為達(dá)到目標(biāo)而采用的手段。 由以上討論我們不難看出,數(shù)學(xué)這一研究模式的科學(xué),由于模式客觀性和現(xiàn)實(shí)客觀性的統(tǒng)一,使數(shù)學(xué)兼具發(fā)現(xiàn)和發(fā)明兩種特性,正是這兩種特性使數(shù)學(xué)在獲得模式真理性的同時(shí)也就自動(dòng)在某種意義上獲得了現(xiàn)實(shí)真理性,并最終使這兩種真理性達(dá)到完全一致,檢驗(yàn)數(shù)學(xué)真理性的標(biāo)準(zhǔn)既可以是邏輯上的無(wú)矛盾性也可以是實(shí)踐中的有效性,而通常意義下的真理其檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)只能正如鄧小平同志的名言:實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的惟一標(biāo)準(zhǔn)。因此,數(shù)學(xué)既能發(fā)現(xiàn)又能發(fā)明,真理只能發(fā)現(xiàn)而不能發(fā)明。
在中國(guó)古代,按所提出的宇宙模式的不同,天文學(xué)共有3家學(xué)說(shuō),“蓋天說(shuō)”是其中之一,而《周髀算經(jīng)》是“蓋天說(shuō)”的代表。這派學(xué)說(shuō)主張:天像蓋笠,地法覆盆(天空如斗笠,大地像翻扣的盆)。
據(jù)考證,現(xiàn)傳本《周髀算經(jīng)》大約成書(shū)于西漢時(shí)期(公元前1世紀(jì))為趙君卿所作,北周時(shí)期甄鸞重述,唐代李淳風(fēng)等注。歷代許多數(shù)學(xué)家都曾為此書(shū)作注,其中最著名的是唐李淳風(fēng)等人所作的注?!吨荀滤憬?jīng)》還曾傳入朝鮮和日本,在那里也有不少翻刻注釋。
從所包含的數(shù)學(xué)內(nèi)容來(lái)看,書(shū)中主要講述了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法、用勾股定理來(lái)計(jì)算高深遠(yuǎn)近和比較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)計(jì)算等。
書(shū)中有矩(一種量直角、畫(huà)矩形的工具)的用途,勾股定理及其在測(cè)量上的應(yīng)用,相似直角三角形對(duì)應(yīng)邊成比例定理等數(shù)學(xué)內(nèi)容.
在《周髀算經(jīng)》中還有開(kāi)平方的問(wèn)題,等差級(jí)數(shù)的問(wèn)題,使用了相當(dāng)繁復(fù)的分?jǐn)?shù)算法和開(kāi)平方法,以及應(yīng)用于古代的“四分歷”計(jì)算的相當(dāng)復(fù)雜的分?jǐn)?shù)運(yùn)算.還有相當(dāng)繁雜的數(shù)字計(jì)算和勾股定理的應(yīng)用。
又如《九章算術(shù)》確定了中國(guó)古代數(shù)學(xué)的框架,以計(jì)算為中心的特點(diǎn),密切聯(lián)系實(shí)際,以解決人們生產(chǎn)、生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題為目的的風(fēng)格。其影響之深,以致以后中國(guó)數(shù)學(xué)的作大體采取兩種形式:或?yàn)橹髯?,或仿其體,例著書(shū);甚至西算傳入中國(guó)之后,人們著書(shū)立說(shuō)時(shí)還常常把包括西算在內(nèi)
的數(shù)學(xué)知識(shí)納入九章的框架。 然而,《九章算術(shù)》亦有其不容忽視的缺點(diǎn):沒(méi)有任何數(shù)學(xué)概念的定義,也沒(méi)有給出任何推導(dǎo)和證明。魏景元四年(263年),劉徽給《九章算術(shù)》作注,才大大彌補(bǔ)了這個(gè)缺陷。
劉徽是中國(guó)數(shù)學(xué)家之一。他的生平知之甚少。據(jù)考證,他是山東鄒平人。劉徽定義了若干數(shù)學(xué)概念,全面論證了《九章算術(shù)》的公式解法,提出了許多重要的思想、方法和命題,他在數(shù)學(xué)理論方面成績(jī)斐然。
劉徽對(duì)數(shù)學(xué)概念的定義抽象而嚴(yán)謹(jǐn)。他揭示了概念的本質(zhì),基本符合現(xiàn)代邏輯學(xué)和數(shù)學(xué)對(duì)概念定義的要求。而且他使用概念時(shí)亦保持了其同一性。如他提出凡數(shù)相與者謂之率,把率定義為數(shù)量的相互關(guān)系。又如他把正負(fù)數(shù)定義為今兩算得失相反,要令正負(fù)以名之,擺脫了正為余,負(fù)為欠的原始觀念,從本質(zhì)上揭示了正負(fù)數(shù)得失相反的相對(duì)關(guān)系。
《九章算術(shù)》的算法盡管抽象,但相互關(guān)系不明顯,顯得零亂。劉徽大大發(fā)展深化了中算中久已使用的率概念和齊同原理,把它們看作運(yùn)算的綱紀(jì)。許多問(wèn)題,只要找出其中的各種率關(guān)系,通過(guò)乘以散之,約以聚之,齊同以通之,都可以歸結(jié)為今有術(shù)求解。
一個(gè)平面(或立體)圖形經(jīng)過(guò)平移或旋轉(zhuǎn),其面積(或體積)不變。把一個(gè)平面(或立體)圖形分解成若干部分,各部分面積(或體積)之和與原圖形面積(或體積)相等。基于這兩條不言自明的前提的出入相補(bǔ)原理,是中國(guó)古代數(shù)學(xué)進(jìn)行幾何推演和證明時(shí)最常用的原理。劉徽發(fā)展了出入相補(bǔ)原理,成功地證明了許多面積、體積以及可以化為面積、體積問(wèn)題的勾股、開(kāi)方的公式和算法的正確性。